1. 集合 (Sets)
定义
集合（set）是一个 明确界定的对象的整体，其中的对象称为元素（elements 或 members）。
- 元素可以是数字、字母、人、城市，甚至是其他集合
- 通常用 大写字母 表示集合，用花括号
{ }列出元素 - 如果两个集合的元素完全相同，则认为它们相等（顺序和重复不影响集合内容）
例子
- 前五个质数：
$$ A = \{2, 3, 5, 7, 11\} $$
- 属于与不属于：
- 若 $x$ 是 $A$ 的元素，写作 $x \in A$
- 若 $y$ 不是 $A$ 的元素，写作 $y \notin A$
- 集合相等：
$$ \{red, white, blue\} = \{blue, white, red\} = \{red, white, white, blue\} $$
- 描述法表示有理数集：
$$ \mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \;\middle|\; a,b \in \mathbb{Z},\ b \ne 0 \right\} $$——“所有分子分母为整数、分母不为零的分数”
2. 基数 (Cardinality)
定义
集合的基数（cardinality）指集合中元素的个数，记作 $|A|$
例子
- 若 $A={1,2,3,4}$，则 $|A|=4$
- 空集（empty set），记作 $\varnothing$ 或 ${}$，其基数为 0
- 集合也可以有无限多个元素，例如：
- 整数集 $\mathbb{Z}$
- 质数集
- 奇数集
3. 子集与真子集 (Subsets and Proper Subsets)
定义
- 子集：若集合 $A$ 的每个元素也都属于集合 $B$，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$
- 等价写法：$B \supseteq A$，即 $B$ 是 $A$ 的超集
- 真子集：若 $A \subseteq B$ 且 $A \neq B$，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A \subset B$
例子
设 $B={1,2,3,4,5}$：
- ${1,2,3} \subset B$，并且是 真子集
- ${1,2,3,4,5} \subseteq B$，但不是 真子集
基本性质
- 空集是任意非空集合的真子集：$\varnothing \subset A$
- 空集是所有集合的子集：$\varnothing \subseteq B$
- 集合是它自己的子集：$A \subseteq A$
4. 交集与并集 (Intersections and Unions)
定义
- 交集：
$$ A \cap B = \{x \mid x \in A \ \text{且}\ x \in B\} $$若 $A \cap B = \varnothing$，则称 $A$ 和 $B$ **不相交 (disjoint)**
- 并集：
$$ A \cup B = \{x \mid x \in A \ \text{或}\ x \in B\} $$
例子
- $A$ = 所有正偶数
- $B$ = 所有正奇数
- $A \cap B = \varnothing$
- $A \cup B = \mathbb{Z}^+$（所有正整数）
性质
- 交换律：$A \cup B = B \cup A$，$A \cap B = B \cap A$
- 与空集：$A \cup \varnothing = A$，$A \cap \varnothing = \varnothing$
5. 补集 (Complements)
定义
- 相对补集（也叫差集）：若 $A$ 和 $B$ 是两个集合，$B$ 中不在 $A$ 中的元素组成的集合称为 $B$ 相对于 $A$ 的补集，记作：
$$ B \setminus A = \{x \in B \mid x \notin A\} $$
例子
- $B={1,2,3}$，$A={3,4,5}$
- $B \setminus A = {1,2}$
- 设 $R$ 为实数集，$Q$ 为有理数集
- $R \setminus Q =$ 无理数集
性质
- $A \setminus A = \varnothing$
- $A \setminus \varnothing = A$
- $\varnothing \setminus A = \varnothing$
6. 常见数集 (Significant Sets)
在数学中，一些集合非常常见，因此有专门的符号表示：
- $\mathbb{N}$ —— 自然数集：${0,1,2,3,\dots}$
- $\mathbb{Z}$ —— 整数集：${\dots,-2,-1,0,1,2,\dots}$
- $\mathbb{Q}$ —— 有理数集：
$$ \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a,b \in \mathbb{Z},\ b \ne 0 \right\} $$
- $\mathbb{R}$ —— 实数集
- $\mathbb{C}$ —— 复数集
7. 笛卡尔积与幂集 (Products and Power Sets)
笛卡尔积 (Cartesian Product)
- 定义：若 $A$ 和 $B$ 是两个集合，则它们的笛卡尔积（或直积）为：
$$ A \times B = \{(a,b) \mid a \in A,\ b \in B\} $$即所有由 $A$ 的一个元素和 $B$ 的一个元素组成的有序对
- 例子：
若 $A={1,2,3}$，$B={u,v}$$$ A \times B = \{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)\} $$ - 例子：
$$ \mathbb{N} \times \mathbb{N} = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(2,0),\dots\} $$即所有自然数对
幂集 (Power Set)
- 定义：集合 $S$ 的幂集 $\mathcal{P}(S)$ 是 $S$ 的所有子集构成的集合：
$$ \mathcal{P}(S) = \{T \mid T \subseteq S\} $$
- 例子：
若 $S = {1,2,3}$$$ \mathcal{P}(S) = \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\} $$ - 性质：若 $|S|=k$，则 $|\mathcal{P}(S)|=2^k$
因为每个元素都有“选/不选”两种可能，共 $2^k$ 种子集。
8. 数学记号 (Sums & Products)
求和符号 (Summation)
- 定义：
$$ \sum_{i=m}^{n} f(i) = f(m) + f(m+1) + \dots + f(n) $$
- 例子：
$$ \sum_{i=5}^{n} i^2 = 5^2 + 6^2 + \dots + n^2 $$
连乘符号 (Product)
- 定义：
$$ \prod_{i=m}^{n} f(i) = f(m) \cdot f(m+1) \cdot \dots \cdot f(n) $$
- 例子：
$$ \prod_{i=1}^{n} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = n! $$
9. 全称量词与存在量词 (Universal & Existential Quantifiers)
全称量词 (Universal Quantifier)
- 符号：$\forall$，表示“对所有 (for all)”
- 用法：$(\forall n \in \mathbb{N})[\text{性质}]$
- 例子：
语句：对所有自然数 $n$，$n^2 + n + 41$ 是质数
表示为：$$ (\forall n \in \mathbb{N})(n^2 + n + 41 \text{ 是质数}) $$ - 真值：对小的 $n$ 成立，但对大的 $n$ 不成立（例如 $n=40$ 时，$40^2+40+41=1681=41^2$，不是质数）。
因此该语句是 假 的。
存在量词 (Existential Quantifier)
- 符号：$\exists$，表示“存在 (there exists)”
- 用法：$(\exists x \in \mathbb{Z})[\text{性质}]$
- 例子：
语句：存在一个整数 $x$，使得 $x < 2$ 且 $x^2=4$
表示为：$$ (\exists x \in \mathbb{Z})(x < 2 \ \land\ x^2=4) $$ - 真值：取 $x=-2$ 即可满足条件，所以该语句是 真 的
混合量词的语句
-
$$ (\forall x \in \mathbb{Z})(\exists y \in \mathbb{Z})(y > x) $$* 含义：对每个整数 $x$，都能找到一个更大的整数 $y$ * 真值：**真**
-
$$ (\exists y \in \mathbb{Z})(\forall x \in \mathbb{Z})(y > x) $$* 含义：存在一个整数 $y$，它比所有整数都大 * 真值：**假**，因为没有“最大的整数”
⚠️ 注意：量词的顺序会改变语句的含义！