命题逻辑 (Propositional Logic)

命题与非命题 (Propositions vs Non-Propositions)

• 命题 (proposition)：要么真要么假的陈述句
  例子：

  1. $\sqrt{3}$ 是无理数
  2. $1+1=5$
  3. “凯撒十岁生日早餐吃了两个鸡蛋”

• 非命题：缺少信息或含有模糊词，不能判断真伪
  例子：

  1. $2+2$ （不完整）
  2. $x^2+3x=5$ （未说明 $x$）
  3. “施瓦辛格经常吃西兰花”（“经常”模糊）
  4. “亨利八世不受欢迎”（“不受欢迎”模糊）

逻辑连接词 (Logical Connectives)

• 合取 (Conjunction)：$P \land Q$
  • 仅当 $P,Q$ 同真时为真
• 析取 (Disjunction)：$P \lor Q$
  • 至少一真时为真
• 否定 (Negation)：$\lnot P$
  • $P$ 为假时为真

排中律 (Law of the Excluded Middle)

• $P \lor \lnot P$ 恒真（永真式 tautology）
• $P \land \lnot P$ 恒假（矛盾 contradiction）

真值表 (Truth Tables)

合取 (AND)

否定 (NOT)

蕴含 (Implication)

• 定义：$P \Rightarrow Q$ （若 P，则 Q）
• 真值：仅当 $P$ 真而 $Q$ 假时为假；其余情况为真
• 等价式：
  $(P \Rightarrow Q) \equiv (\lnot P \lor Q)$

例子：

• “若你在雨中站着，则你会被淋湿”
• “若猪会飞，则马会读书” （前件假 → 命题 空真 vacuously true）

常见同义表述

• “if P then Q”
• “Q if P”
• “P only if Q”
• “P is sufficient for Q”
• “Q is necessary for P”
• “Q unless not P”

双向蕴含 (Biconditional)

• $P \Leftrightarrow Q$ （“P 当且仅当 Q”）
• 当 $P,Q$ 真值相同（同真或同假）时为真

逆命题与逆否命题

• 逆否 (Contrapositive)：$\lnot Q \Rightarrow \lnot P$，与原命题 等价
• 逆命题 (Converse)：$Q \Rightarrow P$，一般 不等价

对照表

量词 (Quantifiers)

基本概念

• 数学中的陈述不仅仅是简单命题，还常常涉及 大量对象。
• 谓词 (predicate)：带有变量的陈述，代入具体值后才成为命题。
  • 例子：$P(n): n^2+n+41 \text{ 是素数}$
    • $n=1$ → $43$ 是素数 → 真
    • $n=41$ → $41^2+41+41 = 41 \times 43$ → 假

两种量词

• 全称量词 (Universal Quantifier)：$\forall$

  • “对所有 (for all)”
  • 例子：$(\forall n \in \mathbb{N})(n^2+n+41 \text{ 是素数})$

• 存在量词 (Existential Quantifier)：$\exists$

  • “存在 (there exists)”
  • 例子：$(\exists x \in U_{\text{mammals}})(x \text{ lays eggs})$

有限与无限

• 有限集：

  • $U={1,2,3,4}$
  • $(\exists x \in U)P(x) \equiv P(1)\lor P(2)\lor P(3)\lor P(4)$
  • $(\forall x \in U)P(x) \equiv P(1)\land P(2)\land P(3)\land P(4)$

• 无限集：

  • 如自然数 $\mathbb{N}$，无法展开，只能使用量词表示

多重量词 (Multiple Quantifiers)

• 命题可同时含有多个量词
• 量词不交换（次序不同 → 语义不同）

例子 1：地铁故事

1. $(\forall t \in T)(\exists p \in P)(p \text{ 在时间 } t \text{ 被捅})$
   → 每次乘地铁，都会有人被捅（可能不同人）
2. $(\exists p \in P)(\forall t \in T)(p \text{ 每次都被捅})$
   → 存在某个倒霉鬼，每次都被捅

例子 2：整数大小
4. $(\forall x \in \mathbb{Z})(\exists y \in \mathbb{Z})(x < y)$
→ 对任意整数，总能找到更大的数 (真)
5. $(\exists y \in \mathbb{Z})(\forall x \in \mathbb{Z})(x < y)$
→ 存在最大整数 (假)

否定 (Much Ado About Negation)

基本定义

• 一个命题 $P$ 为假，意味着它的否定 $\lnot P$ 为真。
• 否定在逻辑推理和证明中非常重要。

德摩根律 (De Morgan’s Laws) —— 命题逻辑版

• $\lnot (P \land Q) \equiv (\lnot P \lor \lnot Q)$
• $\lnot (P \lor Q) \equiv (\lnot P \land \lnot Q)$

直观理解：

• “不是 (P 且 Q)” 等价于 “P 不成立或 Q 不成立”
• “不是 (P 或 Q)” 等价于 “P 不成立且 Q 不成立”

德摩根律 —— 量词版

• $\lnot (\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \lnot P(x)$
• $\lnot (\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \lnot P(x)$

例子：

• “不是所有整数都是奇数” → “存在一个整数不是奇数（即偶数）”

推进否定 (Negation Pushing)

• 否定可以逐步向内推进，遇到量词时翻转：
  • $\forall \leftrightarrow \exists$
  • 同时加上否定符号

例子：

“至少 / 至多 / 恰好” 的量词表达

• 至少三个满足 $P$ 的整数：
  $\exists x \exists y \exists z (x \neq y \land y \neq z \land z \neq x \land P(x) \land P(y) \land P(z))$

• 至多三个满足 $P$ 的整数（写法一）：
  $\exists x \exists y \exists z \forall d (P(d) \Rightarrow (d=x \lor d=y \lor d=z))$

• 至多三个（写法二，等价形式）：
  $\forall x \forall y \forall v \forall z \Big( \text{四者两两不同} \Rightarrow \lnot(P(x)\land P(y)\land P(v)\land P(z)) \Big)$

• 恰好三个：
  “至少三个” $\land$ “至多三个”