1. Proofs

学习目标

• 理解什么是数学证明以及它为何在计算机科学中重要
• 掌握“有限推理 → 证明无限情形”的核心思想
• 了解证明与程序/逻辑电路之间的联系与区别

证明的定义（Definition）

• 证明（proof）：从一组公理/公设（axioms/postulates）与已知定义出发，按照逻辑规则进行的一串有限推理步骤（logical deductions），以确证一个命题为真。
• 关键特性：用有限的论证，保证无限多情形（如“对所有输入”“对所有自然数”）都成立。

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仅用大量样例“测试”一个全称命题（如“对所有 $x$，性质 $P(x)$ 成立”）不能替代证明。样例只能提供经验性“证据”，而无法涵盖未测试的无限多情形。

证明为何必要（Why Proofs）

• 科学方法：通过实验积累证据支撑结论；可能随新证据被修正。
• 数学方法：通过严格证明得到确定性结论；只要公理与推理无误，命题真值不可动摇。
• 计算机科学中的典型需求：
  • 终止性：程序 $P$ 是否对所有输入都终止？
  • 正确性：程序 $P$ 是否对所有输入 $x$ 都输出期望的 $f(x)$？

证明与计算机/逻辑的关系

• 证明像“程序”：输入为假设/公理，推理规则像“指令集/电路门”，输出为结论。
• 逻辑规则既支撑数字电路设计（与/或/非），也支撑自动推理/AI中的形式化推断。

一个通用的写作框架（建议模板）

• 已知（Given）：罗列前提、定义、公理与记号。
• 欲证（Goal）：清晰写出要证明的命题。
• 证明（Proof）：逐步推理，每一步给出可追溯的理由（定义、引理、定理、代数变形、逻辑等价）。
• 结束语：用 ■ 或 “∎/QED” 标注完结，或点明关键等价/蕴含链条已闭合。

命题的量化形式（在证明中的常见形态）

• 全称命题：$\forall x; P(x)$
  • 证明策略：取任意但固定的 $x$，在不对 $x$ 做特殊假设的前提下导出 $P(x)$。
• 存在命题：$\exists x; P(x)$
  • 证明策略：构造具体见证 $x_0$ 并证明 $P(x_0)$。

常用证明技法（本讲后续将详细展开）

• 直接证明（Direct Proof）：由前提逐步推出结论 $P\Rightarrow Q$。
• 对当/逆否证明（Contraposition）：证 $\lnot Q\Rightarrow \lnot P$ 等价于 $P\Rightarrow Q$。
• 反证法（Contradiction）：假设命题为假，推出矛盾。
• 分类讨论（Cases）：覆盖所有可能情形，分别证明。

写作与思维要点

• 每一步都应有据可依（定义、恒等式、已知结论）；避免“逻辑跳跃”。
• 对“任意”对象的证明，不得使用其特例性质（否则破坏全称性）。
• 证明中使用的记号/对象应提前定义，避免歧义。

术语速览

2. Notation and Basic Facts

常见集合

• 整数集
  $\mathbb{Z} = {\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots}$

  • 对加法、乘法封闭
  • 即：若 $a,b \in \mathbb{Z}$，则 $a+b, ab \in \mathbb{Z}$

• 自然数集
  $\mathbb{N} = {0,1,2,\dots}$

  • 对加法、乘法封闭
  • 在本课程中常把 $0$ 包含在内（有时也记作 $\mathbb{N}^+$ 表示不含 0）

整除 (Divisibility)

• 定义：
  对整数 $a, b$，若
  $a \mid b \iff \exists q \in \mathbb{Z},; b = aq$
  则称“$a$ 整除 $b$”。

• 例子：

  • $2 \mid 10$，因为存在 $q=5$ 使 $10 = 2 \cdot 5$
  • $3 \nmid 10$，因为不存在整数 $q$ 满足 $10 = 3q$

素数 (Prime Numbers)

• 定义：自然数 $p \geq 2$，若 $p$ 仅能被 1 和 自身整除，则称为 素数
• 例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, …
• 非素数称为 合数 (composite)

定义符号

• $:=$ 表示“定义为”
• 例：
  • $q := 6$ 表示 定义变量 $q$ 为 6

小结

• 整数/自然数 → 对运算封闭
• 整除 → 存在性定义（引入 $q$）
• 素数 → “最小不可再分”的整数构件

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常见误区：

• 遗漏 $0$：注意 $a \mid 0$ 对所有 $a \in \mathbb{Z}$ 都成立（因为 $0=aq$ 且 $q=0$）。
• 素数与 1：1 不是素数（它只满足“被 1 和自己整除”但不符合定义 $p \ge 2$）。

3. Direct Proof

方法概述

• 命题形式：$P(x) \Rightarrow Q(x)$

• 思路：

  1. 假设 $P(x)$ 成立（对一个一般性的 $x$）
  2. 通过逻辑推理与代数变换
  3. 得出 $Q(x)$ 成立

• 关键要点：

  • 不取具体数值，而是对“任意”对象推理
  • 证明过程必须在一般性假设下有效 → 保证“全称性”

示例 1：整除的封闭性

Theorem 2.1
对于任意 $a,b,c \in \mathbb{Z}$，若 $a \mid b$ 且 $a \mid c$，则 $a \mid (b+c)$。

证明：

• 已知：$a \mid b, a \mid c$
• 等价于：存在整数 $q_1, q_2$ 使得
  $b = q_1 a, \quad c = q_2 a$
• 相加得：
  $b+c = q_1 a + q_2 a = (q_1+q_2)a$
• 因为 $\mathbb{Z}$ 对加法封闭，$q_1+q_2 \in \mathbb{Z}$
• 因此 $a \mid (b+c)$，证毕。 ∎

示例 2：9 的整除判别法

Theorem 2.2
若 $0<n<1000$ 且 $n$ 的数位和能被 9 整除，则 $n$ 能被 9 整除。

证明：

• 设 $n = 100a + 10b + c$，其中 $a,b,c$ 为数位
• 假设 $a+b+c = 9k$
• 则
  $$ n = 100a+10b+c = 99a+9b+(a+b+c) = 99a+9b+9k $$
  $$ = 9(11a+b+k) $$
• 所以 $n$ 可被 9 整除，证毕。 ∎

示例 3：逆命题与等价

Theorem 2.3（Theorem 2.2 的逆命题）
若 $n$ 能被 9 整除，则 $n$ 的数位和能被 9 整除。

证明：

• 设 $n=100a+10b+c=9l$
• 整理：
  $$ a+b+c = 9(l-11a-b) $$
• 所以 $a+b+c$ 能被 9 整除。 ∎

结论：

• $n$ 能被 9 整除 $\iff$ 数位和能被 9 整除
• 证明等价命题的方法：
  • 分别证明 $P \Rightarrow Q$ 和 $Q \Rightarrow P$

直接证明的常见应用场景

• 数论：整除、同余
• 代数：封闭性、结合律、交换律
• 分析：不等式、极限运算

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直接证明的陷阱：

• 不要使用具体实例来代替一般性证明
• 避免循环论证（不能直接假设结论）
• 注意边界情况（如 0，负数，极端值）

4. Proof by Contraposition（逆否证明）

方法概述

• 逻辑等价：

  $$ (P \Rightarrow Q) \iff (\lnot Q \Rightarrow \lnot P) $$

• 思路：

  • 想证明 $P \Rightarrow Q$
  • 反而从“假设 $\lnot Q$”出发
  • 推导出 $\lnot P$
  • 因为两者逻辑等价，所以 $P \Rightarrow Q$ 得证

• 常用场景：

  • 直接证明困难时
  • 逆否命题更容易入手

示例 1：因子与奇偶性

Theorem 2.4
设 $n$ 是正整数，且 $d \mid n$。若 $n$ 是奇数，则 $d$ 是奇数。

• 原命题：$n$ 奇数 $\Rightarrow d$ 奇数
• 逆否命题：$d$ 偶数 $\Rightarrow n$ 偶数

证明：

• 假设 $d$ 是偶数，则 $d=2k$
• 因为 $d \mid n$，所以 $n=dl=2kl$
• 故 $n$ 是偶数
• 证毕 ∎

示例 2：鸽笼原理（Pigeonhole Principle）

Theorem 2.5
设 $n,k$ 为正整数，将 $n$ 个物体放入 $k$ 个盒子。若 $n>k$，则至少一个盒子中含有多个物体。

证明（逆否法）：

• 假设每个盒子中至多 1 个物体
• 则物体总数 $n \leq k$
• 这与 $n>k$ 矛盾
• 因此命题成立，证毕 ∎

逆否证明的优势

• 在证明“若 … 则 …”时，逆否命题往往更自然
• 例如：证明“$n$ 为奇数 $\Rightarrow$ $d$ 为奇数”比较困难
  但“$d$ 为偶数 $\Rightarrow$ $n$ 为偶数”却容易直接代数化

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写证明时应 明确写出所用的方法：

• 开头说明“我们使用逆否证明法”
• 类似于写程序时加注释，让读者清楚思路
• 在作业/考试中更容易得到高分

5. Proof by Contradiction

方法概述

• 基本思想：

  1. 想证明命题 $P$
  2. 先假设 $\lnot P$（命题不成立）
  3. 通过逻辑推导，得到矛盾（$R \land \lnot R$）
  4. 因此 $\lnot P$ 不可能，$P$ 必然成立

• 逻辑原理：

  • 依赖于“排中律”：命题非真即假
  • 若假设“非真”导致矛盾，则必然“为真”

示例 1：素数无限性

Theorem 2.6
素数有无限多个。

证明（Euclid 经典反证法）：

1. 假设只有有限多个素数：$p_1, p_2, \dots, p_k$
2. 构造 $q := p_1 p_2 \cdots p_k + 1$
3. $q$ 不是列表中的任意素数（因为它比每个都大）
4. 按照 Lemma 2.1：任意大于 1 的数要么是素数，要么有素数因子
   • 若 $q$ 是素数 → 矛盾（它应在列表外）
   • 若 $q$ 有素数因子 $p$ → $p \mid q$ 且 $p \mid p_1 p_2 \cdots p_k$
   • 推出 $p \mid (q - p_1 p_2 \cdots p_k) = 1$
   • 矛盾（没有素数能整除 1）
5. 因此假设错误 → 素数必然无限 ∎

示例 2：$\sqrt{2}$ 的无理性

Theorem 2.7
$\sqrt{2}$ 是无理数。

证明：

1. 假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，则存在互素整数 $a,b$ 使 $\sqrt{2} = \tfrac{a}{b}$
2. 推出 $a^2 = 2b^2$ → $a^2$ 是偶数 → $a$ 是偶数
   • 设 $a=2c$
   • 代入得 $b^2 = 2c^2$ → $b$ 也是偶数
3. 结论：$a,b$ 都是偶数 → 有公因子 2
4. 这与假设“$a,b$ 互素”矛盾
5. 因此 $\sqrt{2}$ 不可能是有理数，证毕 ∎

反证法常用场景

• 证明“不存在”类命题：
  • 如“最大素数不存在”
  • 如“$\sqrt{2}$ 不能写成有理数”
• 证明“不可能”类结论：
  • 如“假设 $x=y$ 推出矛盾”

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写反证法时常见错误：

• 忘记明确假设“欲证命题的否定”
• 推出与结论无关的矛盾（必须是“逻辑上不可能”）
• 陷入循环论证（即在推导中偷偷使用了结论本身）

6. Proof by Cases（分类讨论）

方法概述

• 有时我们无法直接证明某个命题，因为情况不唯一
• 但是可以确定：若干互斥的情形中至少有一个必然成立
• 证明思路：
  1. 将问题划分为有限个“情况”（cases）
  2. 分别在每个情况中证明命题成立
  3. 由于必有一个情况成立，因此结论总是成立

示例：存在无理数 $x,y$ 使得 $x^y$ 是有理数

Theorem 2.8
存在无理数 $x,y$，使得 $x^y$ 是有理数。

证明（分类讨论）：

1. 考虑 $x = \sqrt{2}$，$y = \sqrt{2}$
2. 分两种情况：

Case (a)

• 假设 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 是有理数
• 则直接取 $x=\sqrt{2}, y=\sqrt{2}$，结论成立

Case (b)

• 假设 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 是无理数
• 此时取 $x = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, y = \sqrt{2}$
• 那么：
  $$ x^y = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})} = \sqrt{2}^2 = 2 $$
• $2$ 是有理数 → 命题成立

3. 无论哪种情况，命题都成立 ∎

非构造性证明 (Non-constructive proof)

• 上面的证明展示了 某个对象存在，但没有明确告诉我们“到底是哪一个”
• 即：
  • 我们知道存在满足条件的 $(x,y)$
  • 但无法确定是 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 还是 $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}, \sqrt{2})$
• 这种证明被称为 非构造性证明

分类讨论的应用场景

• 数学归纳法中的“奇数/偶数”情况划分
• 数论中按模数余数分类
• 分析中讨论“$x \ge 0$ 或 $x < 0$”

[!example]
练习

1. 用分类讨论法证明：任意整数 $n$，$n^2 \equiv 0 \text{ 或 } 1 \pmod 4$
2. 证明：若 $n$ 是整数，则 $n$ 要么是偶数，要么是奇数（不能同时是两者）

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分类讨论证明常见错误：

• 漏掉某些情况（导致证明不完整）
• 情况之间有重叠（导致推理不严谨）

7. Common Errors When Writing Proofs

错误 1：假设结论为真

• 错误示例
  • 命题：$-2 = 2$
  • “证明”：假设 $-2=2$，两边平方得 $4=4$，于是结论成立。
• 问题：
  • 这是循环论证（begging the question）。
  • 实际上证明的是 $P \Rightarrow \text{True}$，而不是 $P$ 本身。

[!warning]
证明中 不能直接假设要证明的命题为真。必须从前提或公理出发。

错误 2：忽视零的特殊性

• 错误示例
  • 命题：$1 = 2$
  • “证明”：
    $$ x=y \quad \Rightarrow \quad x^2-xy = x^2-y^2 $$
    $$ \Rightarrow x(x-y)=(x+y)(x-y) $$
    $$ \Rightarrow x=x+y \quad (\text{两边同时除以 } x-y) $$
    $$ \Rightarrow x=2x $$
    取 $x=y=1$ 得 $1=2$。
• 问题：
  • 这里除以 $x-y$，但 $x=y$ 时 $x-y=0$。
  • 除以零是未定义的操作 → 推理无效。

[!warning]
在代数证明中一定要考虑 零的特殊情况，避免除以零。

错误 3：不正确地处理不等式

• 错误示例
  • 命题：$4 \leq 1$
  • “证明”：已知 $-2 \leq 1$，两边平方，得 $4 \leq 1$。
• 问题：
  • 平方并不保持不等式方向。
  • 一般来说，$a \leq b \nRightarrow a^2 \leq b^2$。
  • 例：$a=-2, b=1$，则 $a<b$ 但 $a^2 > b^2$。

[!example]
正确处理方式：

• 若 $a \leq b$ 且 $a,b \geq 0$，则可推出 $a^2 \leq b^2$。
• 若 $a \leq b < 0$，则平方会翻转不等式方向。

总结

• 常见错误包括：
  • 循环论证：假设结论为真
  • 忽略零：除以零或未检查边界情况
  • 不当操作：对不等式或平方根进行错误推理

[!note]
写证明时要特别小心：

• 检查推理链条中是否有未定义的操作
• 考虑边界/极端情况（如 $0$、负数）
• 保持每一步逻辑正确且必要

8. Style and Substance in Proofs

写证明的基本原则

• 每一步推理都要有依据（定义、公理、定理或代数规则）
• 不能跳跃性过大，否则读者无法理解逻辑链条
• 证明的目标不仅是 正确，更是 清晰、易懂

何时需要详细展开？

• 理论上：每一步都应该追溯到定义/公理
• 实际上：不必在常识/显然步骤上过度展开
• 取舍标准：
  • 1. 自己能解释清楚为什么这一步成立
  • 2. 读者能“自动同意”这一步成立

使用引理（Lemma）

• 定义：在证明大定理时，单独抽出的小结论
• 好处：
  • 分解复杂证明 → 类似于程序设计里的子函数
  • 提高可重用性 → 引理可以在多个证明中使用
• 例子：
  • 在证明 $\sqrt{2}$ 无理时，用到的引理：

    若 $a^2$ 是偶数，则 $a$ 是偶数。

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编程类比

• 定理（Theorem） = 最终输出的程序功能
• 引理（Lemma） = 中间写的小函数
• 推论（Corollary） = 根据已有函数结果立即得到的副作用结果

引理 vs 定理

• 定理（Theorem）：证明的“主角”，要向外界传递的核心结果
• 引理（Lemma）：在定理证明内部服务的辅助结论
• 但二者并没有严格界限：有时某些“引理”比定理更著名（如 Pumping Lemma）

风格建议

1. 明确写出所用的证明方法（例如“我们用反证法”）
2. 分段书写：把证明分块，逻辑更清晰
3. 善用记号：提前定义变量和符号，避免混乱
4. 减少废话：用简洁的语言直击逻辑核心
5. 视觉层次清晰：公式对齐、重点突出