【CS70】Lec 3 - Induction

1. Mathematical Induction

基本介绍

数学归纳法用于证明某命题对所有自然数成立。
思路：
1. Base Case（基例）：证明 $P(0)$ 成立；
2. Induction Hypothesis（归纳假设）：假设 $P(k)$ 成立；
3. Inductive Step（归纳步骤）：证明 $P(k) \Rightarrow P(k+1)$。

示例：求和公式

命题：

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad \sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2} $$

Base Case ($n=0$)：

$$ \sum_{i=0}^0 i = 0 = \frac{0 \cdot (0+1)}{2} $$

Induction Hypothesis：假设 $n=k$ 时成立

$$ \sum_{i=0}^k i = \frac{k(k+1)}{2} $$

Inductive Step ($n=k+1$)：

$$ \sum_{i=0}^{k+1} i = \Big(\sum_{i=0}^k i\Big) + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$

因此结论成立。

[!example] 类比：多米诺骨牌

$P(n)$ 对应第 $n$ 块骨牌

Base Case = 推倒第一块

Inductive Step = 保证 $k \to k+1$

结果：所有骨牌都会倒下

示例：整除性

证明：

$$ \forall n \in \mathbb{N},\quad 3 \mid (n^3-n) $$

Base Case ($n=0$)：$0^3-0=0$，能被 3 整除。
Induction Hypothesis：假设 $k^3-k=3q$。
Inductive Step：

$$ (k+1)^3-(k+1)=(k^3-k)+3k^2+3k =3q+3(k^2+k)=3(q+k^2+k) $$

可被 3 整除。

Two-Color Theorem（双色定理简化版）

问题：矩形被直线分割，是否能用红蓝两色涂色，使相邻区域不同色？
Base Case ($n=0$)：一个区域，显然可涂。
Induction Hypothesis：假设 $k$ 条线时可双色。
Inductive Step：再加一条线 → 一边不变，另一边整体交换红蓝，即合法。

2. Strengthening the Induction Hypothesis

有时原命题太弱，无法完成归纳，需要提出 更强的命题。

示例 1：奇数求和

原命题：前 $n$ 个奇数的和是平方数。
问题：如果只假设“和是平方数”，无法在归纳步骤中继续。
观察前几项：
- $n=1$: $1 = 1^2$
- $n=2$: $1+3=4=2^2$
- $n=3$: $1+3+5=9=3^2$
- $n=4$: $1+3+5+7=16=4^2$

发现规律 → 实际上结果是 精确的平方(不知道具体是哪个数的平方)

加强版命题：

$$ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2 $$

归纳证明：
- Base Case ($n=1$)：$1=1^2$
- Induction Hypothesis：假设 $\sum_{i=1}^k (2i-1)=k^2$
- Inductive Step：
$$ \sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2 $$

因此结论成立。

示例 2：调和级数平方和

原命题：

$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \leq 2 $$

这个归纳假设太弱，推不出 $n+1$ 情况。

[!warning] 问题
如果 $\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2}=2$，则再加上 $\frac{1}{(k+1)^2}$ 无法保证仍然 $\leq 2$。

加强版命题

改为：

$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{n} $$

归纳证明：
- Base Case ($n=1$)：
$$ \frac{1}{1^2}=1 \leq 2-\frac{1}{1}=1 $$
- Induction Hypothesis：假设 $\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{k}$
- Inductive Step：
$$ \sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i^2} \leq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2} $$

要证明：

$$ 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq 2-\frac{1}{k+1} $$

等价于：

$$ -\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2} \leq -\frac{1}{k+1} $$

[!example] 提示
将不等式两边同乘 $(k+1)$，即可验证成立。

我的一些体会

原命题虽然是真的，但它给的信息太“模糊”或太“松”，导致归纳步骤推不动
这时候就要 加强归纳假设，引入一个 与 $n$ 有关的量，让命题更“精准”，归纳就能顺利进行
通过引入与 n 有关的量, 实现数学归纳. 不然无从下手

3. Simple Induction vs. Strong Induction

基本概念

弱归纳（Simple / Weak Induction）
- 假设 $P(k)$ 成立，推出 $P(k+1)$ 成立。
- 归纳假设只包含一个前提。
强归纳（Strong Induction）
- 假设 $P(0), P(1), \dots, P(k)$ 全部成立，推出 $P(k+1)$ 成立。
- 归纳假设更强，可以使用多个之前的结论。

[!example] 类比：多米诺骨牌

弱归纳：如果第 $k$ 块倒了，那第 $k+1$ 块会倒。

强归纳：如果第 $1$ 到第 $k$ 块都倒了，那第 $k+1$ 块会倒。

逻辑上等价，但强归纳更“好用”。

例子 1：邮票问题（Postage Stamp Problem）

命题：对于所有 $n \geq 12$，存在 $x,y \in \mathbb{N}$，使得

$$ n = 4x + 5y $$

多个基例：
- $12 = 4\cdot 3 + 5\cdot 0$
- $13 = 4\cdot 2 + 5\cdot 1$
- $14 = 4\cdot 1 + 5\cdot 2$
- $15 = 4\cdot 0 + 5\cdot 3$
Induction Hypothesis：假设命题对 $12 \leq n \leq k$ 都成立。
Inductive Step：考虑 $n=k+1 \geq 16$
- 注意 $k+1-4 \geq 12$
- 根据归纳假设，$k+1-4=4x’+5y'$
- 于是 $k+1 = 4(x’+1)+5y'$
- 命题得证。

[!warning] 注意
如果用弱归纳，只能假设 $P(k)$ 成立，没法得到 $P(k-3)$ 等情况，所以证明推不动。

例子 2：素数分解

命题：每个 $n>1$ 的自然数都可以写成素数的积。

Base Case ($n=2$)：$2$ 本身是素数 ✅
Induction Hypothesis：假设 $2 \leq m \leq k$ 的所有数都能写成素数积。
Inductive Step：考虑 $n=k+1$：
- 若 $k+1$ 是素数 → 命题成立。
- 若 $k+1$ 不是素数 → 存在 $x,y$ 使 $k+1=xy$，其中 $1<x,y<k+1$。
- 由归纳假设，$x,y$ 都能写成素数积，因此 $k+1$ 也能写成素数积。

[!warning] 为什么弱归纳不行？
例如 $k+1=42=6\times 7$，弱归纳只能假设 $P(k)$ 成立，没法保证 $P(6)$、$P(7)$。
而强归纳允许我们假设所有 $2\leq m \leq k$ 都成立，所以能用到 $P(6),P(7)$。

总结

弱归纳和强归纳 逻辑上等价，但强归纳在很多问题中更方便。
实际操作时，如果发现弱归纳假设不够用 → 尝试改用强归纳。